Tidningen uppger också att Assads fru och barn redan befinner sig i säkerhet i Ryssland med anledning av jihadisternas framryckningar. Andra delar av familjen har flytt till Förenade arabemiraten.
Enligt en expert WSJ talat med är det en tidsfråga innan regimen faller.
– Om Homs faller har jag svårt att se hur regimen ska överleva, säger Jerome Drevon på International Crisis Group.
Tusentals vettskrämda syrier flydde på fredagen från Homs, landets tredje största stad, när en rebellallians ledd av al-Qaidas syriska gren Hayat Tahrir al-Sham avancerade, skriver al Monitor.
Om Homs faller skulle det innebära ännu ett hårt slag mot Assadregimen som redan förlorat kontrollen över de stora städerna Aleppo och Hama under den gångna veckan.
En anonym amerikansk tjänsteman uppgav att Biden-administrationen nu bedömer att regeringsstyrkorna kan förlora Homs inom några dagar, varefter rebellerna sannolikt kommer att vända blicken mot huvudstaden Damaskus.
Situationen i Syrien eskalerar efter nästan 14 år av inbördeskrig. Konflikten mellan den ryss- och iranstödda syriska regeringen och de jihadiststyrkor som strävar efter att störta den har hittills krävt hundratusentals liv, skapat en ny generation extremistgrupper och orsakat den största flyktingkrisen sedan andra världskriget.
Assads styrkor har under de senaste åren återtagit stora delar av landet, förutom ett rebellkontrollerat område i nordvästra Syrien och ett kurdiskt starkt fäste i den semi-autonoma nordöstra delen av landet.
Kriget hade nått ett dödläge innan jihadisternas offensiv plötsligt inleddes i slutet av förra månaden.
